Question

Sa se determine cea mai mica si cea mai mare valoare a expresiei :
E(x) = sin x + cos x +tg x +ctg x , pentru care x∈{ 30 grade , 45 grade , 60 grade , 120grade , 150grade}

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

E(30°)=sin30°+cos30°+tg30°+ctg30°=1/2 +√3/2 + √3/3 + √3 = 3/6+ 3√3/6 + 2√3/6 +6√3/6 = 1/2 + 11√3/6.

E(45°)=sin45°+cos45°+tg45°+ctg45°=√2/2 +√2/2 + 1 + 1= 2 + √2

E(60°)=sin60°+cos60°+tg60°+ctg60°=E(30°)

In cadranul II, cosx<0, tgx<0 si ctgx<0.

Cea mai mica valoare va fi E(150°)=sin150°+cos150°+tg150°+ctg150°=

=sin(180°-30°)+cos(180°-30°)+tg(180°-30°)+ctg(180°-30°)=sin30°-cos30°-tg30°-ctg30°=1/2- √3/2 - √3/3 - √3 = 1/2 - 3√3/6 -2√3/6 - 6√6/6 = 1/2 - 11√3/6.

Sa comparam E(30°) cu E(45°)

Consideram E(30°) < E(45°), deci 1/2 + 11√3/6 < 2 + √2 |·6, ⇒3+11√3 < 12+6√2, |-3, ⇒11√3 < 9+6√2 |^2, ⇒363 < 81+72+108√2, ⇒210 < 108√2 |:3, ⇒70 < 36√2, fals, deci E(30°) > E(45°),

Deci cea mai mare valoare este 1/2 + 11√3/6

Cea mai mica valoare este 1/2 - 11√3/6