Question

Sa se determine n. Exercitiul A6.

Answer 1

[tex]\int\limits^1_0 { \dfrac{(x+1)^n+(x-1)^n}{x^2+1} } \, dx \in \mathbb Q [/tex]

În integrală avem o fracție ai cărei numitor și numărător sunt polinoame cu coeficienții numere întregi. 
Observăm din start că pentru $n=1$, valoarea integralei este număr irațional (deci nu satisface cerința), iar $n=2$ este o soluție. Așa că problema se pune să aflăm soluțiile pentru $n\ \textgreater \ 2$, caz în care la numărător vom avea un polinom cu grad mai mare decât la numitor.

Dacă împărțirea celor două polinoame va da cu rest (al cărui grad este mai mic decât 2, evident), în integrală ne va apărea un termen de forma:

$\dfrac{ax+b}{x^2+1};~unde~a,b\in\mathbb Q~si~a+b\ \textgreater \ 0$

Integrând acest termen, ne va apărea obligatoriu:

$ln(x^2+1)$ sau $arctg(x^2+1)$ sau chiar ambele, care evaluate de la 0 la 1 vor da un număr irațional, care nu satisface cerința.

Așa că, pentru a ne da un număr rațional, punem condiția ca restul împărțirii celor două polinoame să fie 0. În acest caz, împărțirea va rezulta un alt polinom cu coeficieții raționali, care integrat pe intervalul [0,1], ne va da obligatoriu un număr rațional. 

Știm că pentru două polinoame f și g, unde $grad(f)\ \textgreater \ grad (g)$, f se mai poate exprima în funcție de cât (C) și rest (R) astfel:

$f=g\cdot C+R$

Astfel, dacă considerăm:

$f=(x+1)^n+(x-1)^n, ~n \geq 3~si~g=x^2+1$, putem scrie:

$(x+1)^n+(x-1)^n=(x^2+1)\cdot C+R$

Pe noi ne interesează să aflăm restul. Pentru asta, trebuie să îi dăm lui x o anumită valoare pentru care $(x^2+1)\cdot C=0$. Aici apelăm la numerele complexe. 

$(x^2+1)\cdot C=0 \Rightarrow x^2+1=0 \Rightarrow x_1=i,~x_2=-i$

Luăm prima valoare și o înlocuim, de unde rezultă:

$(i+1)^n+(i-1)^n=0\cdot C+R \Rightarrow\\\\R=(i+1)^n+(i-1)^n$

Acum, problema se pune să aflăm n pentru care R=0, adică:

$(i+1)^n+(i-1)^n=0$

Exprimăm cele două numere complexe în formă polară:

$( \sqrt{2})^n \Big[cos\Big( \dfrac{\pi}{4}\Big)+i\cdot sin\Big( \dfrac{\pi}{4} \Big ) \Big] ^n+( \sqrt{2})^n \Big[cos\Big( \dfrac{3\pi}{4}\Big)+i\cdot sin\Big( \dfrac{3\pi}{4} \Big ) \Big] ^n=0$

Aplicăm formula lui Moivre sau Euler:

$( \sqrt{2})^n \Big[cos\Big(n \dfrac{\pi}{4}\Big)+i\cdot sin\Big( n\dfrac{\pi}{4} \Big ) \Big]+\\( \sqrt{2})^n \Big[cos\Big(n \dfrac{3\pi}{4}\Big)+i\cdot sin\Big(n \dfrac{3\pi}{4} \Big ) \Big]=0$

Dăm factor comun și grupăm:

$( \sqrt{2})^n \Big[cos\Big(n \dfrac{\pi}{4}\Big)+cos\Big(n \dfrac{3\pi}{4}\Big)+ i\Big[sin\Big( n\dfrac{\pi}{4} \Big ) +sin\Big(n \dfrac{3\pi}{4} \Big ) \Big]=0$

Deci:

$cos\Big(n \dfrac{\pi}{4}\Big)+cos\Big(n \dfrac{3\pi}{4}\Big )=0$ și $sin\Big( n\dfrac{\pi}{4} \Big ) +sin\Big(n \dfrac{3\pi}{4} \Big )=0$

Luăm prima ecuație (partea reală) și o rezolvăm folosind urmăroarea formulă:

$\boxed{cos(a)+cos(b)=2cos \Big(\dfrac{a+b}{2}\Big)cos\Big(\dfrac{a-b}{2}\Big)}$

Astfel, făcând calculele și simplificările necesare ajungem la:

$2cos \Big(n\dfrac{\pi}{2}\Big)cos\Big(n\dfrac{\pi}{4}\Big)=0$

[tex]cos \Big(n\dfrac{\pi}{2}\Big)=0 \Rightarrow n \dfrac{\pi}{2}= \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow n=2k+1,~k\in N\\\\sau\\\\ cos\Big(n\dfrac{\pi}{4}\Big)=0\Rightarrow n \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow n=4k+2,~ k\in N[/tex]

Parcurgem aceiași pași pentru partea imaginară $sin\Big( n\dfrac{\pi}{4} \Big ) +sin\Big(n \dfrac{3\pi}{4} \Big )=0$, folosind formula:

$\boxed{\sin \left(a\right)+\sin \left(b\right)=2\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)}$

De unde aflăm al doilea set de soluții:

$n=2k~sau~n=4k+2,~k\in \mathbb N$

Observăm că soluția comună pentru cele două seturi, în care atât partea reală cât și cea imaginară a numărului este 0 (adică R=0) este:

$\boxed{n=4k+2,~k\in \mathbb N}$ - răspuns final.