Question

. Sa se determine toate valorile a ∈ Z, pentru care punctele de intersec¸tie ale parabolei y = x2 + (2a − 1)x + 2014 cu axa OX au coordonate ˆıntregi

Answer 1

Trebuie ca $\Delta$ să fie pătrat perfect, adică
$(2a-1)^2-4\cdot 2014=k^2, k\in\mathbb{N}$
$(2a-1)^2-k^2=8056\Rightarrow (2a-k-1)(2a+k-1)=2^3\cdot19\cdot 53$.
Dacă numărul k este par, atunci cei doi factori sunt impari și nu pot avea produsul egal cu 8056. Deci k este impar, iar cei doi factori sunt numere pare.
Astfel se egalează factorii cu divizorii pari ai lui 8056 care au produsul egal cu 8056 și se rezolvă sistemul obținut.
De exemplu
$\begin{case}2a-k-1=2 \\2a+k-1=4028\end{case}$
Se obține $a=1008, \ k=2013$
În acest caz $x_1=-2014, \ x_2=-1$.
Mai departe se iau celelalte cazuri.