Question

Sa se determine x din egalitatile:
a)2+2 x 3+2 x 3 la puterea 2 + 2 x 3 la puterea 3 + ... + 2 x 3 la puterea 87 = 81 la puterea 2x -1
b)2 + 2 x 3 + 2 x 3 la puterea 2 + 2 x 3 la puterea 3 + ... + 2 x 3 la puterea 2003 = x (ori) 27 la puterea 668 -1
c)4 + 4 x 5 + 4 x 5 la puterea 2 + 4 x 5 la puterea 3 + ... + 4 x 5 la puterea 2001 = x (ori) 25 la puterea 1001 -1
d)(9 la puterea 23 (ori) x - 9 la puterea 23 - 3) : 2 = 3 + 3 la puterea 2 + 3 la puterea 3 + ... + 3 la puterea 46

Answer 1

a)  2+ 2×3 + 2×3² + 2×3³ + 2×3^4 +...............+ 2×3^87 = 81^2x -1

 A =  2( 1 +3 + 3² + 3³ + .................+ 3^87 )= 3^8x -1

notăm: S = 1 +3 +3² + 3³  ............3^87       3S =3 + 3² +3³ + ..........3^88

3S - S = 2S = 3^88-1 ⇒  S =( 3^88 - 1) /2

A = 2 ×(3^88 -1) /2 =3^88 -1   ⇒   3^88 -1 = 3^8x - 1   ⇒   3^88 = 3^8x⇒  8x =88  x=11

b)  2 + 2×3 + 2×3² + 2×3³ +..............+2×3^2003 = X×3^2004 - 1     folosind același procedeu ca la a)    ⇒  3^2004 - 1 = X×3^2004 - 1  ⇒ X=1

c)  4 + 4×5 + 4×5² + 4×5³ +............4×5^2001 = X×5^2002 - 1

S=  4(1 + 5 + 5² +5³ + ...........+ 5^2001)  notăm S1= 1 + 5 + 5² + 5³ +......+5^2001      5S1 = 5 + 5² + 5³ + ............5^2002        5S1 - S1 = 4S1 = 5^2002  - 1 ⇒                  S1=(5^2002-1) / 4    ⇒  S  = 5^2002 - 1 = X×5^2002 - 1  ⇒  X =1

d) [ 9^23 (X-1) - 3 ]÷2 = 3 +3² + 3³ + .......3^46       3^46 × (X-1) - 3 = 2×3(1+3 +3² + .... +3^45    impartim expresia la 3 ⇒3^45(X-1) - 1 = 2×(1 +3 +3² +.......3^45)      ⇒            3^45(X-1) - 1 = 3^46 - 1   ⇒X-1 = 3 ⇒X = 4