Question

sa se rezolve ex c ,poza va rog

Answer 1

Calculam derivata functiei f
$f\prime(x)=\frac{2\ln{x}x*\frac{1}{x}-\ln^{2}{x}}{x^{2}}$
Stii ca semnul derivatei unei functii iti dai informatii despre monotonia functiei. Daca derivata este pozitiva, atunci functia este crescatoare, daca derivata da valori negative, atunci functia este descrescatoare.
Vedem ce semne da derivata pentru x>1. Mai intai aflam punctele de extrem. pentru care derivata da 0.
$f\prime(x)=0\Rightarrow 2\ln{x}-\ln^{2}{x}=0\Rightarrow \ln{x}(2-\ln{x})=0$ de unde avem 2 solutii
$\ln{x}=0\Rightarrow x=1$
$2-\ln{x}=0\Rightarrow \ln{x}=2\Rightarrow x=e^{2}$
Avem atunci 2 cazuri mari
I) x>1 si $x<e^{2}$ pentru care avem
$\ln{x}>0$ si $2-ln{x}>0$ deci per total $f\prime(x)>0$ deci functia este crescatoare pe acest interval
2) $x>e^{2}$ atunci avem
 $\ln{x}>0$ si $2-ln{x}<0$ deci $f\prime(x)<0$ atunci functia este descrescatoare pe acest interval.
Deci functia creste pana la $x=e^{2}$ si apoi scade de la acea valoare cand x>1, adica punctul respectiv este maximum
$f(x)<f(e^{2})$ adica
$\frac{\ln^{2}{x}}{x}<\frac{\ln^{2}{e^{2}}}{e^{2}}\Rightarrow \frac{ln^{2}{x}}{x}<\frac{4}{e^{2}}\Rightarrow \frac{\ln{x}}{\sqrt{x}}<\frac{2}{e}\Rightarrow e\ln{x}<2\sqrt{x}$