Question

Salut! Am nevoie de ajutor la aceasta integrala. am incercat cu substitutii trigonometrice, dar ma impiedica acel 2sqrt(2)​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Funcția de sub integrală nu e definită în 0. Este o integrală improprie. Se calculează astfel:

$\lim_{a \to 0} \int\limits^{2\sqrt{2}}_a \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} dx = \lim_{a \to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}xdx$

Notăm $\sqrt{1+x^2}=t\Rightarrow 1+x^2=t^2\Rightarrow 2xdx=2tdt$.

$x=a\Rightarrow t=\sqrt{1+a^2}\\x=2\sqrt{2}\Rightarrow t=3$

Atunci integrala devine

$\int_{\sqrt{1+a^2}}^3\frac{t-1}{t^2-1}tdt=\int_{\sqrt{1+a^2}}^3\frac{t}{t+1}dt=\left. t\right | _{\sqrt{1+a^2}}^3-\left. \ln\left(t+1\right)\right |_{\sqrt{1+a^2}}^3=\\=3-\sqrt{1+a^2}-\ln\frac{4}{\sqrt{1+a^2}+1}$

Trecând la limită cu $a\rightarrow 0$ se obține $2-\ln 2$