Question

se considera sirul (an)n>=1, an=(n+3)²+3/n(n+1)(n+2) × 1/2^(n+1). sa se arate ca an se poate scrie sub forma an=f(n)-f(n+1), f(n)= nA+B/n(n+1)×1/2^n cu A si B apartin lui R

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Calculând $f(n)-f(n+1)$ (aducând la același numitor și făcând toate calculele) se obține $\displaystyle\frac{An^2+\left(3A+B\right)n+4B}{n(n+1)(n+2)}\cdot\frac{1}{2^{n+1}}$

$\displaystyle a_n=\frac{n^2+6n+12}{n(n+1)(n+2)}\cdot\frac{1}{2^{n+1}}$

Identificând coeficienții polinomului de gradul 2 de la numărător se obține $A=1, \ B=3$.

Deci $f(n)=\displaystyle\frac{n+3}{n(n+1)}\cdot\frac{1}{2^n}$

Atunci

$b_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i=f(1)-f(n+1)=1-\frac{n+4}{(n+1)(n+2)}\cdot \frac{1}{2^n+1}$