Question

Salut, am nevoie de ajutor la ex. 18 ( daca se poate o metoda mai usoara si completa)

Answer 1

Răspuns:

e)

Explicație pas cu pas:

Fie funcția $f(x)=\int_{0}^{x}{e^{t^2}dt}-\left(x+\frac{1}{x}\right),\quad \forall x\in\left[1,2\right].$

Să observăm că $t<1\implies t^2<t\implies e^{t^2}<e^t\implies \int_{0}^{1}{e^{t^2}dt}<\int_0^1{e^tdt}=e-1$.

De aceea vom avea $f(1)=\int_0^1{e^{t^2}dt}-2\le \int_0^1{e^tdt}-2=e-3<0.$

Pe de altă parte observăm că $t>1\implies t^2 > t\implies e^{t^2}>e^t\implies \int_1^2{e^{t^2}dt}>\int_1^2{e^tdt}=e(e-1)>e>\frac{5}{2}$

De unde vine că $f(2)=\int_0^2{e^{t^2}dt}-\frac{5}{2}\ge\int_1^2{e^{t^2}dt}-\frac{5}{2}>0.$

Fiind $f$ o funcție continuă în $[1,2]$ (se verifică continuitatea ei prin teorema fundamentală al calcului integral), teorema lui Bolzano ne garantează un $c\in \left(1,2\right)$ în care $f(c)=0$.