Question

Salut! Știe cineva cum se rezolva aceasta integrala? Face parte dintr-o admitere la facultate. Mulțumesc anticipat!

Answer 1

pt x din [0,1] evident sirul este descrescator

$x^{n} \geq x^{n+1}\\\frac{x^{n}}{x^{2}+1} \geq \frac{x^{n+1}}{x^{2}+1} \\integram... \\I_{n} \geq I_{n+1}$

de asemenea se arata ca sirul este marginit

$0 \leq x^{n} \leq 1\\0 \leq \frac{1}{x^{2}+1} \leq \frac{1}{2} \\0 \leq \frac{x^{n}}{x^{2}+1} \leq \frac{1}{2} \\integram...\\0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2}$

Sir marginit+monoton =>admite limita iar:

$\lim_{n \to \infty} I_n=L$