Question

Salutare tuturor! Am o problemă: nu am făcut niciodată inecuații cu combinări, și totuși am primit un exercițiu pentru acasă: 5 Combinări de x elemente luate câte 3 sunt mai mari decât o combinare de x+2 elemente luate câte 4. Mă poate ajuta cineva? Vreau explicații pe lung, ca să înțeleg.

Answer 1

Inecuatia ta este:

$5\cdot C_x^3>C_{x+2}^4$

Se pun conditiile de existenta:

x≥3
x+2≥4
x∈N

Din acestea, obținem: x∈{3; 4; 5; ....}

Folosind formula de calcul a combinărilor, inecuatia data devine:

$5\cdot\dfrac{x(x-1)(x-2)}{2\cdot3}>\dfrac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{2\cdot3\cdot4}$

După simplificări obtinem:

$5(x-2)>\dfrac{(x+2)(x+1)}{4}$
Dupa aducerea la acelasi numitor si reducerea termenilor asemenea, ajungem la:

$x^2-17x+42<0$, care are solutia x∈(3;14) si tinand cont de conditiile de existenta, obtinem:

x∈{4; 5; 6; ... ; 13}