Question

Se considera cercul circumscris triunghiului ABC. Sa se arate ca diametrul [AA'], inaltimea [BB'] si bisectoarea [CC'] sunt concurente, daca si numai daca cos²C=cos A•cos B.

Answer 1

Fie $AA'\cap BC=D$ (vezi figura)
Se aplică teorema lui Ceva:
Dacă AD, BB', CC' sunt concurente dacă și numai dacă  $\frac{C'B}{C'A}\cdot\frac{B'A}{B'C}\cdot\frac{DC}{DB}=1$ .
Din teorema bisectoarei avem $\frac{C'B}{C'A}=\frac{BC}{AC}$
Din triunghiul dreptunghic BAB' avem $B'A=AB\cos A$
Din triunghiul dreptunghic BB'C avem $B'C=BC\cos C$
Deci $\frac{B'A}{B'C}=\frac{AB\cos A}{BC\cos C}$
Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiul ABD:
$\frac{BD}{\sin\widehat{BAD}}=\frac{AB}{\sin\widehat{ADB}}$
Dar $\widehat{BAD}=90^{\circ}-\widehat{BA'D}=90^{\circ}-C$
Rezultă $BD=\frac{AB\sin(90-C)}{\sin\widehatADB}}=\frac{AB\cos C}{\sin\widehat{ADB}}$
Procedând analog în triunghiul ADC avem $DC=\frac{AC\cos B}{\sin\widehat{ADC}}$
Dar $\sin\widehat{ADB}=\sin\widehat{ADC}$ (sunt unghiuri suplementare)
Rezultă $\frac{DC}{DB}=\frac{AC\cos B}{AB\cos C}$
Înmulțind rapoartele calculate se obține $\frac{\cos A\cos B}{\cos^2 B}=1\Rightarrow\cos A\cos B=\cos^2C$.