Question

Se consideră expresia:
E(x) = (x + 1)^2 + 2(x^2 + 4x + 3) + (x+3)^2, unde x€R. Demonstrați că E(n) este pătrat perfect, oricare ar fi numărul natural n.​

Answer 1

E(x) = (x+1)^2 + 2(x^2+4x+3) + (x+3)^2 =

= (x+1)^2 + 2(x^2+3x+x+3) + (x+3)^2 =

= (x+1)^2 + 2[x(x+3) + (x+3)] + (x+3)^2 =

= (x+1)^2 + 2(x+3)(x+1) + (x+3)^2

Observăm că E(x) este acum de forma a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2, unde a = x+1 si b = x+3

Atunci:

E(x) = [(x+1) + (x+3)]^2 = (2x + 4)^2

Inseamna ca E(n) = (2n+4)^2, adica este pătrat perfect, oricare ar fi n numar natural