Question

Se considera functia f : R\{-1} -> R, f(x)=x^2/x+1 (FRACTIE!)
a) Derivata fct. f
b) Intervalele de monotonie ale fct. f
c) Demonstrati ca f(x)≤-4 pentru orice x<-1

Ajutor rapid va rog.
Multumesc anticipat.

Answer 1

Corect f(x)=x²/(x+1)
f`(x)=[2x(x+1)-x²]/(x+1)²=(2x²+2x-x²)/(x+1)²=(x²-2x)/(x+1)²
______________
pe  intervalele pe care  f` este  negativa  functia  e  descrescatoare.Pe   intervalele  pe care f ` este   pozitiva functia e crescatoare.
SE  observa   ca  numitorul   fractiei  f `  este  strict   pozitiv.Semnul   functiei  e   dat de   numarator
x²-2x=0   x(x-2)=0   x1=0   x2=-2 Conf   semnului  functiei  de   grd ,  2   Expresia   e   pozitiva   in afara    radacinilor    si  negativa   intre  radacini
DEci  f `(x)<0   pt   x∈(-2 0)  .In  acest  caz   f  e   descrescatoare. si
f `(x)≥0   x∈(-∞,-2]U[2 ,∞) deci  functia  f  e  crescatoare
c)  pt  x<-1 functia  e   crescatoare  valoarea  maxima  o  ia  pt  x=-2 f(-2) -4.
Pe intervalul    (-2 ,1)Functia   e dexcrescatoare      fiindca   derivata  e   negativa  .  Deci  f((-2 , -1))<f(-2)=-4