Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty), f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}$.

$5 p$ a) Arătați că $\int_{1}^{3}\left(f(x)-\frac{4}{x}\right) d x=4$.

$5 p$ b) Calculatii $\int_{2}^{6} \frac{2}{f(x)} d x$.

$5 p$ c) Determinați numărul real nenul $a$, știind că $\int_{1}^{e}\left(f(x)-\frac{4}{x}\right) \ln x d x=\frac{e^{2}+1}{a}$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}$

a)

$\int\limits^3_1 {\frac{x^2+4}{x}-\frac{4}{x} } \, dx =\int\limits^3_1 \frac{x^2}{x} \ dx=\int\limits^3_1x\ dx=\frac{x^2}{2} |_1^3=\frac{9}{2}-\frac{1}{2} =4$

b)

$\int\limits^6_2{\frac{2}{\frac{x^2+4}{x} } } \, dx =\int\limits^6_2{\frac{2x}{x^2+4} } } \, dx$

Daca partea de jos a fractiei (numitorul) derivata este egala cu numaratorul atunci intregrala noastra este egala cu ln(numitor) - vezi tabel integrale compuse din atasament

(x²+4)'=2x

$\int\limits^6_2{\frac{2}{\frac{x^2+4}{x} } } \, dx =\int\limits^6_2{\frac{2x}{x^2+4} } } \, dx=ln(x^2+4)|_2^6=ln40-ln8=ln5$

c)

$\int\limits^e_1 {(\frac{x^2+4}{x}-\frac{4}{x} )lnx} \, dx =\int\limits^e_1 xlnx\ dx$

Facem prin integrarea prin parti

$f=lnx\ \ \ \ \ \ \ f'=\frac{1}{x} \\\\g'=x\ \ \ \ \ \ \ g=\frac{x^2}{2}$

$\int\limits^e_1 xlnx\ dx=\frac{x^2}{2}lnx|_1^e- \int\limits^e_1 \frac{x^2}{2x} \ dx=\frac{x^2}{2}lnx|_1^e- \int\limits^e_1\frac{x}{2} \ dx=\frac{x^2}{2}lnx|_1^e- \frac{x^2}{4}|_1^e=\\\\=\frac{e^2}{2}lne-0-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}= \frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}\\\\ \frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{a} \\\\\frac{e^2+1}{4}=\frac{e^2+1}{a}$

a=4

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/956588

#BAC2022

#SPJ4