Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}-x-5$.

$5 \mathbf{p}$ a) Determinați panta tangentei la graficul functiei $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul functiei $f$.

$5 \mathbf{p}$ b) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

5p c) Demonstrați că $e^{x}(1-x) \leq 1$, pentru orice număr real $x$.

Answer 1

$f(x)=e^{x}-x-5$

a)

Panta tangentei la graficul functiei f in punctul de abscisa x=0 este f'(0)

Calculam f'(x)

f'(x)=eˣ-1

f'(0)=e⁰-1=1-1=0

b)

Pentru a demonstra ca functia este convexa, trebuie sa facem f''(x)

f''(x)=(eˣ-1)'=eˣ

eˣ>0 (functie exponentiala)⇒ f este convexa pe R

c)

eˣ(x-1)≤1

Facem monotonia functiei f

f'(x)=0

eˣ-1=0

eˣ=1

x=0

Tabel semn

x      -∞           0                +∞

f'(x)  - - - - - - - 0 + + + + + +

f(x)       ↓       f(0)       ↑

                    -4

f(0)=e⁰-0-5=1-5=-4

f este descrescatoare pe (-∞,0) si crescatoare pe (0,+∞)

f(x)≥-4 si f(-x)≥-4

f(-x)=e⁻ˣ+x-5

e⁻ˣ+x-5≥-4

$\frac{1}{e^x} +x-5\geq -4\\\\\frac{1}{e^x}+x\geq 1\\\\ \frac{1+xe^x}{e^x} \geq 1\\\\1+xe^x\geq e^x\\\\1\geq e^x-xe^x\\\\1\geq e^x(1-x)\\\\e^x(1-x)\leq 1$

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1063191

#BAC2022

#SPJ4