Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5 x+\frac{1}{x}$.

$5 p$ a) Arătaţi că [tex]$\int_{2}^{4}\left(f(x)-\frac{1}{x}\right) d x=30$[tex]

$5 p$ b) Demonstraţi că funcția $F:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\frac{5 x^{2}+2020}{2}+\ln x$ este o primitivă a funcției $f$.

$5 p$ c) Calculați $\int_{1}^{e}(f(x)-5 x) \ln x d x$

Answer 1

$f(x)=5 x+\frac{1}{x}$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^4_2 {5x} \, dx=\frac{5x^2}{2}|_2^4=\frac{80}{2} -\frac{20}{2} =40-10=30$

b)

F este primitiva lui f

F'(x)=f(x)

$F'(x)=\frac{1}{2}\cdot(10x+0)+\frac{1}{x} =5x+\frac{1}{x} =f(x)$

c)

$\int\limits^e_1 {\frac{1}{x}\cdot lnx } \, dx =\int\limits^e_1 (lnx)'\cdot lnx\ dx=\frac{1}{2}ln^2x|_1^e=\frac{1}{2}ln^2e-\frac{1}{2}ln^21= \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928436

#BAC2022

#SPJ4