Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{x-2}{x^{2}}, x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcţiei $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=-x$.

$5 \mathbf{p}$ c) Demonstrați că $f\left(\frac{\pi}{2}\right)\ \textless \ 0$.

Answer 1

$f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}$

a)

$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2x-2(x-1)}{x^2} =\frac{x-2x+2x-2}{x^2}=\frac{x-2}{x^2}$

b)

Doua drepte sunt paralele daca pantele lor sunt egale

$m_1=f'(a)\\\\m_2=-1$

f'(a)=-1

$\frac{a-2}{a^2} =-1\\\\-a^2=a-2\\\\a^2+a-2=0\\\\\Delta=1+8=9\\\\a_1=\frac{-1+\sqrt{9} }{2}=1 \\\\a_2=\frac{-1-\sqrt{9} }{2}=-2 < 0\ Nu$

c)

Monotonia functiei f

Pe intervalul (0,2) x-2<0 ⇒ f'(x)<0⇒ f este descrescatoare pe (0,2)

$1 < \frac{\pi}{2}$ ⇒

$f(1) > f(\frac{\pi}{2} )\\\\f(1)=0$⇒$f(\frac{\pi}{2}) < 0$

Un alt exercitiu gasesti aici: https://brainly.ro/tema/133500

#SPJ4