Question

Se consideră funcţia $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$.

a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1) \sqrt{x^{2}-1}}, x \in(1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_{0}=2$, situat pe graficul functiei $f$.

c) Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcției $f$.

Answer 1

$f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1} }\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1} \frac{1}{2\sqrt{x-1} } }{(\sqrt{x-1})^2 } =\frac{\frac{-2}{2\sqrt{x-1}\sqrt{x+1} } }{x-1} =-\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-1} }$

b)

Ecuatia tangentei in punctul A(a,f(a))

y-f(a)=f'(a)(x-a)

In cazul nostru a=2

$f(2)=\sqrt{3} \\\\f'(2)=-\frac{\sqrt{3} }{3}$

$y-\sqrt{3} =-\frac{\sqrt{3} }{3}(x-\sqrt{3})\\\\\\y=-\frac{\sqrt{3} }{3}x+1+\sqrt{3}$

c)

$\lim_{x \to 1} f(x)=\frac{\sqrt{2} }{0}=+\infty$  ⇒ avem asimptota verticala , ecuatia dreptei este x=1

$\lim_{x \to+ \infty} f(x)=\frac{\infty}{\infty}$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x(1+\frac{1}{x}) }}{\sqrt{x(1-\frac{1}{x} )} } =1\\\\\frac{1}{x} \to0$

Dreapta de ecuatie x=1 este asimptota orizontala

Punctul de intersectie este (1,1)

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918934

#BAC2022

#SPJ4