Question

Se consideră funcţia $f:(-2+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+4}$.

5p a) Arătați că $\lim _{x \rightarrow+\infty}(x f(x))=2$.

$5 p$ b) Demonstrați că funcţia $f$ este descrescătoare pe intervalul $(-2,+\infty)$.

$5 p$ c) Determinați $x \in[-1,+\infty)$ pentru care $f(x) \in \mathbb{Z}$.

Answer 1

$f(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+4}$

a)

$\lim_{x\to+ \infty}x\cdot (\frac{1}{x+2} +\frac{1}{x+4} )= \lim_{\to+ \infty}x\cdot (\frac{x}{x+2} +\frac{x}{x+4} )=1+1=2$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

b)

Monotonia functiei f

$f'(x)=\frac{-1}{(x+2)^2} -\frac{1}{(x+4)^2} =-(\frac{1}{(x+2)^2}+\frac{1}{(x+4)^2} ) < 0$

f este descrescatoare pe (-2,+∞)

c)

f este descrescatoare pe [-1,+∞)

$f(-1)=1+\frac{1}{3} =\frac{4}{3}$

$\lim_{x\to +\infty} f(x)= \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\infty} +\frac{1}{\infty} =0+0=0$

$f(x)\in (0,\frac{4}{3} ]$, pentru x∈[-1,+∞)

f(x)∈Z ⇒f(x)=1

$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+4}=1$

Aducem la acelasi numitor comun si il eliminam

x+4+x+2=(x+2)(x+4)

2x+6=x²+6x+8

x²+4x+2=0

Δ=16-8=8

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{2} }{2} =-2-\sqrt{2} \notin [-1,+\infty)\\\\x_1=\frac{-4+2\sqrt{2} }{2} =-2+\sqrt{2} \in [-1,+\infty)$

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9882335

#BAC2022

#SPJ4