Question

Se consideră funcţia $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2 x+4}{x^{2}+4 x+3}$.

5p a) Arătați că $\int_{0}^{1}(x+1)(x+3) f(x) d x=5$.
$5 p$ b) Calculați $\int_{0}^{2} f(x) d x .$
$5 p$ c) Demonstrați că orice primitivă $F:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $f$ este concavă.

Answer 1

$f(x)=\frac{2 x+4}{x^{2}+4 x+3}$

a)

x²+4x+3=x²+x+3x+3=x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x+3)

$\int\limits^1_0 {(x+1)(x+3)f(x)} \, dx =\int\limits^1_0 2x+4\ dx=\frac{2x^2}{2}|_0^1+4x|_0^1=1+4=5$

b)

Observam ca (x²+4x+3)'=2x+4

Adica numitorul derivat ne da numaratorul

(vezi tabel integrale atasat)

$\int\limits^2_0{f(x)} \, dx=ln(x^2+4x+3)|_0^2=ln15-ln3=ln5$

c)

Orice primitiva a functiei f este F

F'(x)=f(x)

Pentru a vedea daca functia este concava ne trebuie derivata a doua, adica F''

F'=f

F''(x)=f'(x)

$F''(x)=f'(x)=\frac{2(x^2+4x+3)-(2x+4)^2}{(x^+4x+3)^2} =\frac{2x^2+8x+6-4x^2-16x-16}{(x^+4x+3)^2} =\frac{-2x^2-8x-10}{(x^+4x+3)^2}$

F''(x)=0

-2x²-8x-10=0   |:2

-x²-4x-5=0

Δ=16-20=-4<0 ⇒ semnul lui a

⇒ F"(x)<0⇒ f este concava

Un alt exercitiu cu primitive gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3195374

#BAC2022