Question

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ şi $M(m)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real.

5p a) Arătați că det $A=1$.

$5 p$ b) Demonstrați că, pentru orice număr real $m$, rangul matricei $M(m)$ este diferit de 2 .

$5 p$ c) Determinați numărul real $m, m \neq 1$, știind că inversa matricei $M(m)$[ este matricea $A$.

Answer 1

$A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$

$M(m)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m\end{array}\right)$

a)

Calculam detA, adaugam primele doua linii ale determinantului

$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right|$

                  3     -1      -1

                  -1     1       0

detA=(3+0+0)-(1+0+1)=3-2=1

b)

Rangul matricei diferit de 2

Daca determinantul este diferit zero, atunci rangul matricei este 3

$det(M(m))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m\end{array}\right|$

                         1     1     1

                         1     m   1

detM=m²+1+1-(m+1+m)=m²-2m+1=(m-1)²

daca m=1, atunci rangul matricei M ar fi 1

Daca m≠1, atunci detM≠0 si rangul ar fi 3

Deci pentru orice m∈R, rangul matricei M este diferit de 2

c)

Inversa unei matrice

$M^{-1}=\frac{1}{detM}\cdot M^*$

$M^{-1}=A$

$M(m)\cdot A=I_3$

$M(m)\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2-m &m-1 & 0 \\2-m & 0 & m-1\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2-m &m-1 & 0 \\2-m & 0 & m-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)$

De aici rezulta ca 2-m=0

m=2

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905405

#BAC2022

#SPJ4