Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-\ln \left(e^{x}+x-1\right)$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{x-2}{e^{x}+x-1}, x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Demonstrați că dreapta de ecuație $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

$5 p$ c) Determinați imaginea funcției $f$.

Answer 1

$f(x)=x-\ln \left(e^{x}+x-1\right)$

a)

Folosim tabelul de derivate (vezi atasament)

$f'(x)=1-\frac{e^x+1}{e^x+x-1} =\frac{e^x+x-1-e^x-1}{e^x+x-1} =\frac{x-2}{e^x+x-1}$

b)

Asimptota orizontala

Calculam limita spre +∞

$\lim_{x \to +\infty} x-ln(e^x+x-1)= \lim_{x \to +\infty} lne^x-ln(e^x+x-1)=ln(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x+x-1} )=$

Aplicam L'Hopital, derivam numarator si derivam numitor

$ln(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x+1} )=$

Aplicam iar L'Hopital

$ln(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x})=ln1=0$

Dreapta de ecuatie y=0 este asimptota orizontala spre +∞

c)

Facem monotonia functiei f

f'(x)=0

x-2=0

x=2

Tabel semn

x           0           2              +∞

f'(x)  - - - - - - - - -0  + + + + +

f(x)         ↓        f(2)        ↑

f este descrescatoare pe (0,2] si crescatoare pe [2,+∞)

f(2)=2-ln(e²+1)

$\lim_{x \to 0} f(x)=0-ln(1+0-1)=+\infty\\\\ \lim_{x +\to \infty} f(x)=0\ (demonstrat\ la\ punctul\ a)$

Imaginea functiei f este [2-ln(e²+1),+∞)

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905461

#BAC2022

#SPJ4