Matematică, întrebare adresată de WorldOfLife1446, 8 ani în urmă

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x+1}{e^{x}}$.

5p a) Arătați că $\int_{0}^{2} \frac{x+1}{f(x)} d x=e^{2}-1$.

$5 p$ b) Calculați $\int_{0}^{1} e^{3 x} f^{2}(x) d x$. $5 p$ c) Se consideră numerele reale pozitive $a, b$ şi $c$. Demonstrați că, dacă $1-\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{x+1} d x, 1-\int_{0}^{b} \frac{f(x)}{x+1} d x$ și $1-\int_{0}^{c} \frac{f(x)}{x+1} d x$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci $a, b$ și $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de AndreeaP
2

f(x)=\frac{x+1}{e^{x}}

a)

Vezi tabel de integrale in atasament

\int\limits^2_0{\frac{x+1}{\frac{x+1}{e^x} } } \, dx =\int\limits^2_0 {e^x} \, dx =e^x|_0^2=e^2-e^0=e^2-1

b)

\int\limits^1_0 {e^{3x}\cdot \frac{(x+1)^2}{e^{2x}} } \, dx =\int\limits^1_0 e^x(x+1)^2\ dx=\int\limits^1_0x^2e^x\ dx+2\int\limits^1_0xe^x\ dx+\int\limits^1_0e^x\ dx=

Calculam prima integrala prin parti

\int\limits^1_0x^2e^x\ dx=

f=x^2\ \ \ \ \ f=2x\\\\g'=e^x\ \ \ \ g=e^x\\\\=x^2e^x|_0^1-2\int\limits^1_0xe^x\ dx

\int\limits^1_0 {e^{3x}\cdot \frac{(x+1)^2}{e^{2x}} } \, dx =\int\limits^1_0 e^x(x+1)^2\ dx=\int\limits^1_0x^2e^x\ dx+2\int\limits^1_0xe^x\ dx+\int\limits^1_0e^x\ dx=\\\\=x^2e^x|_0^1-2\int\limits^1_0xe^x\ dx+2\int\limits^1_0xe^x\ dx+e^x|_0^1=e+e-e^0=2e-1

c)

1-\int\limits^a_0 {\frac{\frac{x+1}{e^x} }{x+1} } \, dx =1-\int\limits^a_0e^{-x}\ dx

1-\int\limits^a_0e^{-x}\ dx,1-\int\limits^b_0e^{-x}\ dx, 1-\int\limits^c_0e^{-x}\ dx

sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice

1-\int\limits^a_0e^{-x}\ dx=1+e^{-x}|_0^a=1+e^{-a}-1=e^{-a}

e^{-a},\ e^{-b},\ e^{-c} -sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice

e^{-2b}=e^{-a}\cdot e^{-c}\\\\e^{-2b}=e^{-a-c}

-2b=-(a+c)

2b=a+c⇒ a, b si c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9835836

#BAC2022

#SPJ4

Anexe:
Alte întrebări interesante