Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}, x \in \mathbb{R}$.

$5 p$ b) Calculatii $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

$5 p$ c) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$

a)

Vezi tabel de derivate (in atasament)

$f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} =\frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$

b)

$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+1} }{x-1}= \lim_{n \to 1} \frac{x+1}{x^2+1}=1$

c)

Functie convexa:

Calculam derivata de ordin 2

$f''(x)=(\frac{4x}{(x^2+1)^2})' =\frac{4(x^2+1)^2-8x^2(x^2+1)}{(x^2+1)^4} =\frac{(x^2+1)(4x^2+4-16x^2)}{(x^2+1)^4}=\frac{(4x^2+4-16x^2)}{(x^2+1)^3}=\\\\f''(x)=\frac{(4-12x^2)}{(x^2+1)^3}$

f''(x)=0

4-12x²=0

12x²=4

$x^2=\frac{1}{3}\\\\ x_1=-\frac{\sqrt{3} }{3} \\\\x_2=\frac{\sqrt{3} }{3}$

Tabel semn

x           -∞       $-\frac{\sqrt{3} }{3}$           $\frac{\sqrt{3} }{3}$         +∞  

f''(x)    - - - - - - - -0 + + + + 0 - - - - -

f(x)           ↓    $f(-\frac{\sqrt{3} }{3} )$  ↑  $f(\frac{\sqrt{3} }{3} )$      ↓

f(x) este convexa pe intervalul $[-\frac{\sqrt{3} }{3} ,\frac{\sqrt{3} }{3} ]$

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9835783

#BAC2022

#SPJ4