Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{a}\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

5p 1. Arătaţi că $\operatorname{det}(A(3))=125$.

5p 2. Demonstrați că $A(a) \cdot A(b)=A(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ şi $b$.

5p 3. Arătaţi că $A(1) \cdot A(4)-A(2) \cdot A(3)=O_{2}$, unde $O_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$.

5p 4. Demonstrați că matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$.

5p 5. Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, astfel încât $A(2) \cdot X=A(0)$.

$5 p$ 6. Determinați numerele naturale $n$ pentru care $\operatorname{det}(A(n)) \leq \sqrt[3]{125}$.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{a}\end{array}\right)$

1)

Aratati ca det(A(3))=125

Facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(A(3))=1×5³-0=125

2)

A(a)·A(b)=A(a+b)

$A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{a}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{b}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{a}\cdot 5^b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{a+b}\end{array}\right)=A(a+b)$

3)

A(1)·A(4)-A(2)·A(3)=O₂

$A(1)\cdot A(4)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{1}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{5}\end{array}\right)=A(5)$

$A(2)\cdot A(3)=A(5)$ (conform punctului 2)

A(5)-A(5)=O₂

4)

Matricea A(a) este inversabila daca det(A(a)) este diferit de zero

det(A(a))=5ᵃ-0=5ᵃ

5ᵃ≠0, a∈R⇒ matricea este inversabila

5)

Observam ca A(0)=I₂

Atunci X=A(2)⁻¹

$A(2)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{2}\end{array}\right)\\\\A(2)^t=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 5^{2}\end{array}\right)\\\\A(2)^*=\left(\begin{array}{cc}5^2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$

det(A(2))=25

$X=A(2)^{-1}=\frac{1}{25}\cdot \left(\begin{array}{cc}25 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}1& 0 \\ 0 & \frac{1}{25} \end{array}\right)$

6)

$det(A(n))\leq \sqrt[3]{125}$

$det(A(n))=5^n\\\\5^n\leq 5\\\\n\in N,\ n=0\ sau\ n=1$

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9835794

#BAC2022

#SPJ4