Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$.

$5 p$ a) Arătaţi că $\int_{-1}^{1} f(x) \cdot\left(x^{2}+1\right) d x=0$.

5p b) Calculați $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{x} f(x) d x$

$5 p$ c) Determinaţi $a \in(0,+\infty)$ pentru care $\int_{0}^{a}(f(x)-f(-x)) d x=\ln (2 a)$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

a)

Vezi tabel de integrale in atasament

$\int\limits^1_{-1} {\frac{x}{x^2+1} \cdot (x^2+1)} \, dx =\int\limits^1_{-1} x\ dx=\frac{x^2}{2}|_{-1}^1=\frac{1}{2} -\frac{1}{2}=0$

b)

$\int\limits^1_0 {(x^2+1)e^x\frac{x}{x^2+1} } \, dx =\int\limits^1_0xe^x\ dx$

O integram prin parti

$f=x\ \ \ \ \ \ f'=1\\\\g'=e^x\ \ \ \ g=e^x$

$\int\limits^1_0xe^x\ dx=xe^x|_0^1-\int\limits^1_0e^x\ dx=e-e^x|_0^1=e-e+e^0=1$

c)

$\int\limits^a _0\frac{x}{x^2+1}-\frac{-x}{x^2+1} \ dx=\int\limits^a_0\frac{2x}{x^2+1}\ dx$

Daca numitorul derivat ne da numaratorul, atunci limita este egala cu ln(numitor)

(x²+1)'=2x

$\int\limits^a_0\frac{2x}{x^2+1} =ln(x^2+1)|_0^a=ln(a^2+1)-ln1=ln(a^2+1)$

$ln(a^2+1)=ln2a\\\\a^2-2a+1=0\\\\(a-1)^2=0\\\\a-1=0$

a=1

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9835836

#BAC2022

#SPJ4