Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{cc}5 x-3, & x \in(-\infty, 1) \\ x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}, & x \in[1,+\infty)\end{array}\right.$.

5p a) Arătaţi că funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Arătaţi că, pentru orice număr real $a, a\ \textgreater \ 1$, tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ nu este paralelă cu axa $O x$.

$5 \mathbf{p}$ c) Demonstraţi că funcția $f$ este convexă pe $(1,+\infty)$.

Answer 1

Răspuns:

a) Limitele laterale în 1 și valoarea funcției în 1 sunt toate egale cu 2, deci funcția este continuă în 1.

b) Pentru $x > 1$ derivata funcției este

$f'(x)=2x-1+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{(2x-1)\sqrt{x^2+3}+x}{\sqrt{x^2+3}} > 0, \ \forall x > 1$

Deci $f'(a)\ne 0, \ \forall a > 1$. Rezultă că tangenta în punctul $A(a,f(a))$ la graficul funcției nu este paralelă cu Ox.

c) $f''(x)=2+\displaystyle\frac{2x^2+3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}} > 0, \ \forall x > 1$, deci f este convexă pe $(1,\infty)$.

Explicație pas cu pas: