Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{cc}5 x-3, & x \in(-\infty, 1) \\ x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}, & x \in[1,+\infty)\end{array}\right.$.

5p a) Arătaţi că funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Arătaţi că, pentru orice număr real $a, a\ \textgreater \ 1$, tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ nu este paralelă cu axa $O x$.

$5 \mathbf{p}$ c) Demonstraţi că funcția $f$ este convexă pe $(1,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}5 x-3, & x \in(-\infty, 1) \\ x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}, & x \in[1,+\infty)\end{array}\right$

a)

O functie este continua daca limita la stanga=limita la dreapta=f(a)

$l_s= \lim_{x \to1,x < 1} 5x-3=5-3=2\\\\l_d= \lim_{x \to 1,x > 1} x^2-x+\sqrt{x^+3} =1-1+2=2\\\\ f(1)=1-1+2=2$

Fiind egale functia este continua in x=1, pe (-∞,1)∪(1,+∞)⇒ f continua pe R

b)

A(a,f(a))

Daca pantele a doua drepte NU sunt egale, atunci ele NU sunt paralele

Trebuie sa demonstram ca f'(a)≠0

Calculam f'(x)

$f'(x)=(x^2-x+\sqrt{x^2+3})',a > 1 \\\\f'(x)=2x-1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3} } =2x-1+\frac{x}{\sqrt{x^2+3} }$

$f'(a)=2a-1+\frac{a}{\sqrt{a^2+3} } =0\\\\(2a-1)\sqrt{a^2+3}+a=0\\\\ (2a-1)\sqrt{a^2+3}=-a\\\\\sqrt{a^2+3} > 0\ si \ 2a-1 > 0,\ pt\ a > 1\\\\(2a-1)\sqrt{a^2+3} > 0,\ adica (2a-1)\sqrt{a^2+3}\ nu\ poate\ fi \ -a$⇒ tangenta la graficul functiei f in punctul A(a,f(a)) nu poate fi paralela cu axa Ox

c)

Pentru a demonstra convexitatea, trebuie sa calculam f''(x), pentru (1,+∞)

$f''(x)=(2x-1+\frac{x}{\sqrt{x^2+3} })'=2+\frac{\sqrt{x^2+3}-x\frac{x}{\sqrt{x^2+3} } }{x^2+3} =2+\frac{3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} } \\\\\sqrt{x^2+3} > 0\\\\x^2+3 > 0, \ pt \ x > 1\\\\\frac{3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} } > 0,\ adica \ 2+\frac{3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} } > 0$⇒ f este convexa pe (1,+∞)

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4963271

#BAC2022

#SPJ4