Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}\left(x^{2}-4 x+5\right)$.

$5 p$ a) Arătaţi că $\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^{x}} d x=\frac{10}{3}$

$5 \mathbf{p}$ b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este convexă.

$5 p$ c) Determinaţi numerele reale $a, b$ şi $c$ astfel încât funcția $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=e^{x}\left(a x^{2}+b x+c\right)$ este o primitivă a funcției $f$.

Answer 1

$f(x)=e^{x}\left(x^{2}-4 x+5\right)$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^1_0 {x^2-4x+5} \, dx =\frac{x^3}{3}|_0^1-\frac{4x^2}{2} |_0^1+5x|_0^1=\frac{1}{3}-2+5=\frac{10}{3}$

b)

Pentru a face convexitatea trebuie sa calculam derivata de ordin 2

Dar, cum F este primitiva lui f, atunci F'(x)=f(x)

Deci F''(x)=f'(x)

$f'(x)=e^x(x^2-4x+5)+e^x(2x-4)=e^x(x^2-2x+1)\\\\e^x(x^2-2x+1)=e^x(x-1)^2\geq 0\ F\ convexa$

c)

F'(x)=f(x)

$e^x(ax^2+bx+c)+e^x(2ax+b)=e^x(x^2-4x+5)\\\\e^x(ax^2+(2a+b)x+b+c)=e^x(x^2-4x+5)\\\\a=1\\\\2a+b=-4\\\\2+b=-4\\\\b=-6\\\\\b+c=5\\\\-6+c=5\\\\c=11$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928371

#BAC2022

#SPJ4