Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}$.

a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}, x \in \mathbb{R}$.

5p b) Se consideră dreapta $d$, asimptota spre $+\infty$ la graficul lui $f$ Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$[, în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta $d$

$5 \mathbf{p}$ c) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $[0, \sqrt{3}]$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=\frac{3x^2(x^2+1)-2x^4}{(x^2+1)^2} =\frac{3x^4+3x^2-2x^4}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$

b)

Doua drepte sunt paralele daca pantele sunt egale

Asimptota spre +∞

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$

Daca gradul numitorului este mai mic decat gradul numaratorului atunci limita este egala cu ∞

Nu avem asimptota verticala

Avem asimptota oblica

y=mx+n

panta=m

$m= \lim_{x+ \to \infty} \frac{f(x)}{x} =1\ (gradele\ sunt\ egale)$

Tangenta la grafic in punctul A(a,f(a)) are panta f'(a)

Deci f'(a)=1

$\frac{a^2(a^2+3)}{(a^2+1)^2}=1\\\\a^2(a^2+3)=(a^2+1)^2\\\\a^4+3a^2=a^4+2a^2+1\\\\a^2=1\\\\a=1\\\\a=-1$

c)

Studiem derivata de ordin 2

$f''(x)=\frac{(4x^3+6x)(x^2+1)^2-(x^4+3x^2)4x(x^2+1)}{(x^2+1)^4} =\frac{(x^2+1)(4x^5+4x^3+6x^3+6x-4x^5-12x^3)}{(x^2+1)^4} \\\\f''(x)=\frac{-2x^3+6x}{(x^2+1)^3}$

Pentru x∈[0,√3] f''(x)≥0 ⇒ f este convexa

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928374

#BAC2022

#SPJ4