Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}+(x-1)^{2}$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 x-2, x \in \mathbb{R}$.

5p b) Arătați că $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x f^{\prime}(x)}{f(x)}=3$.

$5 \mathbf{p}$ c) Determinaţi abscisele punctelor situate pe graficul funcţiei $f$ în care tangenta la graficul funcţiei $f$ este paralelă cu dreapta $y=3 x+1$.

Answer 1

$f(x)=x^{3}+(x-1)^{2}$

a)

Vezi tabelul de derivate in atasament

f'(x)=3x²+2(x-1)(x-1)'=3x²+2(x-1)

f'(x)=3x²+2x-2

b)

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x(3x^2+2x-2)}{x^3+(x-1)^2}= \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3+2x^2-2x)}{x^3+(x-1)^2}=3$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

c)

Fie tangenta la graficul functiei in punctul A(a,f(a))

Daca doua drepte sunt paralele atunci pantele lor sunt egale

y=3x+1

panta=3

panta tangentei: f'(a)

f'(a)=3

3a²+2a-2=3

3a²+2a-5=0

Δ=4+60=64

$a_1=\frac{-2+8}{6} =1\\\\a_2=\frac{-2-8}{6} =-\frac{5}{3}$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/429677

#BAC2022

#SPJ4