Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-x^{3}+3 x+9$.

5p a) Arătați că $f^{\prime}(x)=3(1-x)(1+x), x \in \mathbb{R}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Arătați că $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-7}{x-2}=-9$.

$5 p$ c) Demonstrați că $f(x) \leq 11$, pentru orice $x \in[-1,+\infty)$.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = - x^{3} + 3x + 9$

a)

$f^{\prime}(x) = \left(- x^{3} + 3x + 9 \right)^{\prime}$

$= - \left(x^{3}\right)^{\prime} +3\left(x\right)^{\prime} + 9^{\prime}$

$= - 3 {x}^{2} + 3$

$= 3(1 - {x}^{2})$

$= 3(1 - x)(1 + x)$

b)

$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-7}{x-2} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{- x^{3} + 3x + 9 - 7}{x-2}$

$= \lim _{x \rightarrow 2} \frac{- x^{3} + 3x + 2}{x-2} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{-(x - 2)( {x}^{2} + 2x + 1)}{x-2}$

$= \lim _{x \rightarrow 2} \left( - {(x + 1)}^{2} \right) = - {3}^{2} = - 9$

c)

$f^{\prime}(x) = 0 = > 3(1 - x)(1 + x)$

$1 - x = 0 = > x = 1 \\ 1 + x = 0 = > x = - 1$

$f( - 1) = - ( - 1)^{3} + 3( - 1) + 9 = 1 - 3 + 9 = 7$

$f(1) = - {1}^{3} + 3 \times 1 + 9 = - 1 + 3 + 9 = 11$

f(x) este crescătoare pe intervalul:

$- \infty < x \leqslant - 1$

f(x) este descrescătoare pe intervalul:

$- 1 \leqslant x \leqslant 1$

f(x) este crescătoare pe intervalul:

$1 \leqslant x < + \infty$

$= > f(x) \leq 11, \\ pentru \: orice \: x \in[-1,+\infty)$