Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-4$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că [tex]$\int_{0}^{3}(f(x)+4) d x=9$[tex].

$5 p$ b) Calculați $\int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)+5} d x$.

$5 p$ c) Determinaţi numărul real $a, a\ \textgreater \ 0$, pentru care $\int_{\frac{1}{a}}^{a} f\left(\frac{1}{x}\right) d x=-8$.

Answer 1

$f(x)=x^{2}-4$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^3_0 {x^2} \, dx =\frac{x^3}{3} |_0^3=\frac{27}{3} -0=9$

b)

$\int\limits^1_0 {\frac{1}{x^2+1} } \, dx =arctgx|_0^1=arctg1-arctg0=\frac{\pi}{4}$

c)

a>0

$\int\limits^a_{\frac{1}{a}} \frac{1}{x^2} -4\ dx=\int\limits^a_{\frac{1}{a}} x^{-2}\ dx-\int\limits^a_{\frac{1}{a}} 4\ dx=-x^{-1}|^a_{\frac{1}{a}}-4x|^a_{\frac{1}{a}}=-\frac{1}{a}+a-4a+\frac{4}{a}=\frac{3}{a} -3a$

$\frac{3}{a} -3a=-8$

Aducem la acelasi numitor comun a

3-3a²=-8a

3a²-8a-3=0

Δ=64+36=100

$a_1=\frac{8+10}{6} =3\\\\ a_2=\frac{8-10}{6} =\frac{-1}{3} < 0\ NU$

a=3

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918989

#BAC2022

#SPJ4