Question

Se consideră matricea $A(a, b)=\left(\begin{array}{cc}a+1 & a-1 \\ b & b-2\end{array}\right)$, unde $a$ şi $b$ sunt numere reale.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că det [tex]$(A(2,3))=0$[tex].

$5 p$ b) Demonstrați că, dacă $a \in \mathbb{Q}$ și $b \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$, atunci matricea $A(a, b)$ este inversabilă.

$5 p$ c) Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) [tex] pentru care [tex] A(-1, \sqrt{2}) \cdot X=A(0,0)$.

Answer 1

$A(a, b)=\left(\begin{array}{cc}a+1 & a-1 \\ b & b-2\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(2,3)), facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(A(2,3))=3×1-1×3=3-3=0

b)

O matrice este inversabila daca determinantul sau este diferit de zero

$\left|\begin{array}{cc}a+1 & a-1 \\ b & b-2\end{array}\right|=(a+1)(b-2)-b(a-1)=ab-2a+b-2-ba+b=2b-2a-2=2(b-a-1)\neq 0$

c)

$Fie\ X=\left(\begin{array}{cc}a &b\\ c & d\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}0 & -2 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a &b\\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\ 0& -2\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{cc}-2c &-2d\\ a\sqrt{2} +c\sqrt{2} -2c & b\sqrt{2} +d\sqrt{2} -2d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\ 0& -2\end{array}\right)$

$-2c=1\\\\c=-\frac{1}{2}\\\\ d=\frac{1}{2} \\\\a\sqrt{2} -\frac{1}{2} \sqrt{2} +1=0\\\\a=\frac{1-\sqrt{2} }{2}\\\\ Analog\ b=-\frac{1+\sqrt{2} }{2}$

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928375

#BAC2022

#SPJ4