Question

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ şi sistemul de ecuaţii $\left\{\begin{array}{l}x+z=1 \\ y+z=2, \text { unde } a \text { este număr real. } \\ x+y=a\end{array}\right.$

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că det $A=-2$.

$5 \mathbf{b}$ b) Arătați că matricea $B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right) [tex] este inversa matricei [tex] A$.

5p c) Determinați numărul real $a$, ştiind că sistemul de ecuații are soluția $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ cu $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Answer 1

$A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$

a)

Calculam detA, adaugam primele doua linii ale determinantului

$A=\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|$

         1     0   1

         0    1    1

detA=(0+0+0)-(1+1+0)=0-2=-2

b)

Calculam inversa matricei A

$A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot A^*$

Facem transpusa matricei

$A^t=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$

$A^*=\left(\begin{array}{lll}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)\\\\A^{-1}=-\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{lll}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right) =B$

c)

detA=-2≠0

Metoda lui Cramer

Δ=-2

$\Delta_x=\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ a & 1 & 0\end{array}\right|$

            1    0   1

            2    1   1

$\Delta_x=0+2+0-(a+1+0)=1-a\\\\x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =-\frac{1-a}{2} =\frac{a-1}{2}$

Am inlocuit coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

$\Delta_y=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & a& 0\end{array}\right|$

            1    1    1

            0   2   1

$\Delta_y=0+0+1-(2+a+0)=-1-a\\\\y=\frac{a+1}{2}$

Am inlocuit coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

$\Delta_z=\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right|$

           1    0    1

           0    1    2

$\Delta_z=a+0+0-(1+2+0)=a-3\\\\z=\frac{3-a}{2}$

Am inlocuit coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

Daca x, y si z sunt termeni consecutivi intr-o progresie aritmetica, atunci 2y=x+z

$a+1=\frac{a-1}{2} +\frac{3-a}{2} \\\\2a+2=a-1+3-a\\\\2a=2\\a=0$

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928404

#BAC2022

#SPJ4