Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right)$ şi sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 z=1 \\ x-2 y+z=2, \text { unde } a \text { este } \\ a x+y+z=3\end{array}\right.$ număr real.

$5 p$ a) Arătați că $\operatorname{det}(A(1))=-9$.

$5 p$ b) Demonstrați că suma elementelor matricei $B(a)=A(a) \cdot A(a)$ nu depinde de numărul real $a$.

$5 p$ c) Pentru $a=-2$, arătați că sistemul de ecuații este incompatibil.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right)$

a)

Aratati ca det(A(1))=-9

Inlocuim pe a cu 1 si adaugam primele doua linii ale determinantului

$det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$

                      1      1     -2

                      1     -2     1

det(A(1))=(-2-2+1)-(4+1+1)=-3-6=-9

b)

Daca suma elementelor matricei B(a) nu depinde de a, rezultatul va fi un numar real

Calculam A(a)A(a)

$A(a)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right)=\\\\=\left(\begin{array}{ccc}2-2a & -3 & -3 \\ -1+a & 6 & -3 \\ 2a+1 & a-1 & -2a+2\end{array}\right)$

Adunam elementele matricei si obtinem:

2-2a-3-3-1+a+6-3+2a+1+a-1-2a+2=0 nu depinde de a

c)

$\left\{\begin{array}{l}x+y-2 z=1 \\ x-2 y+z=2, \\-2 x+y+z=3\end{array}\right$

Observam ca daca adunam ecuatiile obtinem:

x+y-2z+x-2y+z-2x+y+z=1+2+3

0=6, false⇒ sistemul este incompatibil

Un exercitiu cu sistem de ecuatii incompatibil gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1025898

#BAC2022