Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-\ln \left(x^{2}+1\right)$.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{3}}{x^{2}+1}, x \in \mathbb{R}$.

$5 p$ b) Demonstrați că axa $O x$ este tangentă graficului funcției $f$.

$5 p$ c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n [tex], ecuația [tex] f(x)=n$ are două soluții reale distincte.

Answer 1

$f(x)=x^{2}-\ln \left(x^{2}+1\right)$

a)

Vezi tabelul de derivate in atasament

$f'(x)=2x-\frac{(x^2+1)'}{x^2+1} =2x-\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x-2x}{x^2+1} =\frac{2x^3}{x^2+1}$

b)

Fie ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul A(a, f(a))

Ecuatia tangentei:

y-f(a)=f'(a)(x-a)

Dreapta Ox are ecuatia y=0

Daca axa Ox este tangenta graficului functiei f, atunci f'(a)=0 si f(a)=0

f(0)=0-ln1=0

f'(0)=0

⇒ Axa Ox este tangenta la graficul functiei f

c)

Demonstrati că, pentru orice număr natural nenul f(x)=n are doua solutii reale distincte

Studiem monotonia functiei f

$f'(x)=\frac{2x^3}{x^2+1} \\\\x^2+1 > 0\\\\2x^3 > 0, pentru\ x > 0\\\\2x^3 < 0, pentru\ x < 0$

f'(x)<0 pentru x∈(-∞,0) ⇒ f este descrescatoare pe (-∞,0)

f'(x)>0 pentru x∈(0,+∞)⇒ f este crescatoare pe (0,+∞)

Studiem continuitatea functiei f

$\lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty\\\\ \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$

f este continua pe (-∞,+∞)

f(0)=0-ln1=0

Din cele de mai sus⇒ Ecuatia are doua solutii reale distincte

Un exercitiu cu ecuatia tangentei gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1062516

#BAC2022