Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ a & i & a \\ -1 & a & -1\end{array}\right)$, unde $i^{2}=-1$ şi $a$este număr real.

$5 p$ a) Arătaţi că $\operatorname{det}(A(0))=i$.

$5 p$ b) Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, matricea $A(a)$ este inversabilă.

c) Calculați $\underbrace{A(0) \cdot A(0) \cdot A(0) \cdot \ldots \cdot A(0)}_{\text {de } 2020 \text { ori } A(0)}$.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ a & i & a \\ -1 & a & -1\end{array}\right)$

a)

det(A(0))=i

Calculam det(A(0)), inlocuind pe a cu 0, iar apoi adaugam primele doua linii ale determinantului

$det(A(0))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & i & 0 \\ -1 & 0& -1\end{array}\right|$

                       1     0     2

                       0     i     0

det(A(0))=(-i+0+0)-(-2i+0+0)=-i+2i=i

b)

Matricea A(a) este inversabila daca det(A(a)) este diferit de zero

$det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1 & a& 2 \\ a& i & a\\ -1 & a& -1\end{array}\right|$

                       1      a     2

                       a      i      a

det(A(a))=(-i+2a²-a²)-(-2i+a²-a²)=a²-i+2i=a²+i

Daca a²+i=0

a²=-i, nu se poate pentru ca a∈R⇒ a²+i≠0⇒ matricea A(a) este inversabila

c)

Calculam A(0)·A(0)

$A(0)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0& 2 \\ 0& i & 0\\ -1 & 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1 & 0& 2 \\ 0& i & 0\\ -1 & 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0& 0\\ 0& i^2 & 0\\ 0 & 0& -1\end{array}\right)$

$A(0)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0& 0\\ 0&-1 & 0\\ 0 & 0& -1\end{array}\right)=-I_3$

$\underbrace{A(0) \cdot A(0) \cdot A(0) \cdot \ldots \cdot A(0)}_{\text {de } 2020 \text { ori } A(0)}=\underbrace{-I_3 \cdot (-I_3) \cdot (-I_3) \cdot \ldots \cdot (-I_3)}_{\text {de } 1010 \text { ori } (-I_3)}=I_3$

Un alt exercitiu cu matrice inversabila gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4614480

#BAC2022