Question

Pe mulțimea $G=(0,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $x * y=\sqrt[3]{x^{\log _{2} y}}$

$5 p$ a) Arătați că $2 * 64=4$.

5 p b) Arătați că legea de compoziție,,*" este comutativă.

$5 p$ c) Determinați $x \in G$ care sunt egale cu simetricele lor în raport cu legea de compoziție,, *".

Answer 1

$x * y=\sqrt[3]{x^{\log _{2} y}}$

a)

Inlocuim pe x cu 2 si pe y cu 64

$2*64=\sqrt[3]{2^{log_264}} =\sqrt[3]{2^6}=2^2=4$

b)

Lege comutativa:

x*y=y*x

$\sqrt[3]{x^{\log _{2} y}}=\sqrt[3]{y^{log_2x}}$

Egalam ce este sub radical

$x^{log_2y}=y^{log_2x}$

Il scriem pe x ca fiind $2^{log_2x}$ si pe y ca fiind $2^{log_2y}$

$(2^{log_2x})^{log_2y}=(2^{log_2y})^{log_2x}\\\\2^{(log_2xlog_2y)}=2^{(log_2ylog_2x)}\ Adevarat$

c)

Calculam elementul neutru:

x*e=x

$\sqrt[3]{x^{\log _{2} e}}=x$     ridicam la puterea a treia

$x^{log_2e}=x^3$

$log_2e=3\\\\e=2^3\\\\e=8$

Calculam elementul simetric

x*x'=e

$\sqrt[3]{x^{\log _{2} x'}}=8$     ridicam la puterea a treia

$x^{log_2x'}=8^3$    Logaritmam in baza 2

$log_2(x^{log_2x'})=log_2(8^3)\\\\log_2x'\cdot log_2x=log_28^3$

In cerinta ne spune ca simetricele sunt egale, deci x=x'

$(log_2x)^2=log_28^3\\\\(log_2x)^2=3log_28\\\\(log_2x)^2=3\cdot 3\\\\(log_2x)^2=9\\\\(log_2x)^2=3^2\\\\log_2x=3\\\\x=8\\\\sau\\\\log_2x=-3\\\\x=2^{-3}=\frac{1}{8}$

Mai multe detalii depre comutatitivitate gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4881427

#BAC2022