Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 a+1 & 1 & -2 \\ a-1 & -1 & 1 \\ 2 a & -2 & 1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{c}(2 a+1) x+y-2 z=a \\ (a-1) x-y+z=a+1, \\ 2 a x-2 y+z=1\end{array}\right.$ unde $a$ este număr real.

$5 p$ a) Arătaţi că det $(A(1))=1$.

$5 p$ b) Determinați numărul real a pentru care matricea $A(a)$ nu este inversabilă.

$5 p$ c) Determinați numărul real a pentru care există $y_{0} [tex] și [tex] z_{0}$, numere reale, astfel încât $\left(2, y_{0}, z_{0}\right)$ să fie soluție a sistemului de ecuatiii.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 a+1 & 1 & -2 \\ a-1 & -1 & 1 \\ 2 a & -2 & 1\end{array}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}(2 a+1) x+y-2 z=a \\ (a-1) x-y+z=a+1, \\ 2 a x-2 y+z=1\end{array}\right$

a)

Calculam det(A(1)), inlocuind pe a cu 1, apoi adaugam primele doua linii ale determinantului:

$det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right|$

                     3     1      -2

                     0    -1       1

det(A(1))=(-3+0+2)-(4-6+0)=-1+2=1

b)

A(a) nu este inversabila daca det(A(a)) este egal cu 0

$det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}2 a+1 & 1 & -2 \\ a-1 & -1 & 1 \\ 2 a & -2 & 1\end{array}\right|$

                      2a+1       1     -2

                       a-1        -1      1

det(A(a))=(-2a-1+4a-4+2a)-(4a-4a-2+a-1)=4a-5-a+3=3a-2

3a-2=0

3a=2

$a=\frac{2}{3}$

c)

Vom calcula prin metoda lui Cramer

x=2

Vom calcula determinantul sistemului

Δ=3a-2 (l-am calculat la punctul b)

$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}a&1&-2\\a+1&-1&1\\1&-2&1\end{array}\right|$

              a         1     -2

             a+1      -1      1

Am inlocuit coloana lui x cu coloana termenilor liberi

Δₓ=(-a+4a+4+1)-(2-2a+a+1)=3a+5+a-3=4a+2

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta} \\\\2=\frac{4a+2}{3a-2}\\\\6a-4=4a+2\\\\2a=6\\\\a=3$

Mai multe despre o matrice inversabila gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4079983

#BAC2022