Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ a & 2\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

$5 p$ a) Arătați că $\operatorname{det}(A(a))=4$, pentru orice număr real $a$.

$5 p$ b) Arătați că $A(a) \cdot A(b)=2 A(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ şi $b$.

$5 p$ c) Determinaţi numărul real $x$ şi numărul natural $n$ pentru care $A(1) \cdot A(2) \cdot \ldots \cdot A(5)=2^{n} A(x)$.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ a & 2\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(a)), facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(A(a))=4-0=4

b)

$A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ a & 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ b & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4& 0 \\ 2(a+b) & 4\end{array}\right)=2A(a+b)$

c)

Ne folosim de punctul b

A(1)·A(2)=2A(1+2)

A(1)·A(2)·A(3)=2²A(1+2+3)

A(1)·A(2)·A(3)·A(4)=2³A(1+2+3+4)

A(1)·A(2)·A(3)·A(4)·A(5)=2⁴A(1+2+3+4+5)=2⁴A(15)

2⁴A(15)=2ⁿA(x)

n=4 si x=15

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928373

#BAC2022

#SPJ4