Question

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m & m^{2} & 1 \\ m+1 & (m+1)^{2} & 1\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real.

$5 p$ a) Arătați că det $(A(0))=0$.

$5 p$ b) Determinați mulţimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care matricea $A(m)$ este inversabilă.

$5 p$ c) In reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele necoliniare $A(1,1), B\left(m, m^{2}\right)$ şi $C\left(m+1,(m+1)^{2}\right)$, unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$, ştiind că triunghiul $A B C$ are aria egală cu 1 .

Answer 1

$A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m & m^{2} & 1 \\ m+1 & (m+1)^{2} & 1\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(0)), inlocuind pe m cu 0 si adaugam primele doua linii ale determinantului

$det(A(0))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 &1 & 1\end{array}\right|$

                      1    1    1

                      0   0   1

det(A(0))=(0+0+1)-(0+1+0)=1-1=0

b)

Matricea A(m) este inversabila daca determinantul sau este diferit de zero

$det(A(m))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m & m^{2} & 1 \\ m+1 & (m+1)^{2} & 1\end{array}\right|$

                           1              1          1

                          m            m²        1

det(A(m))=[m²+m(m+1)²+m+1]-[m²(m+1)+(m+1)²+m]

det(A(m))=(m²+m³+2m²+m+m+1)-(m³+m²+m²+2m+1+m)

det(A(m))=m²-m

m²-m≠0

m(m-1)≠0

m≠0 si m≠1

m∈R\{0,1}

c)

Aria unui triunghi:

$A=\frac{1}{2}|\Delta|$

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m & m^{2} & 1 \\ m+1 & (m+1)^{2} & 1\end{array}\right|=m(m-1)$

A=1

$\frac{1}{2}m(m-1)=1\ |\times 2\\\\ m(m-1)=2\\\\m^2-m-2=0\\\\\Delta=1+8=9\\\\m_1=\frac{1+3}{2} =2\\\\m_2=\frac{1-3}{2}=-1$

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905356

#BAC2022

#SPJ4