Question

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ şi $I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$.

5p 1. Arătați că det $A=1$.

$5 \mathbf{p} [tex] 2. Arătați că [tex] A \cdot A-6 A=-I_{2}$.

5p 3. Determinaţi numerele reale $x$ pentru care $\operatorname{det}(x A)=4$.

5p 4. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(A \cdot A-6 A+a I_{2}\right) \geq 0$, pentru orice număr real $a$.

5p 5. Determinaţi numerele reale $m$ pentru care $m\left(\operatorname{det}\left(A+I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A-I_{2}\right)\right)=\operatorname{det}(m A)$.

6. Determinaţi perechile $(m, n)$ de numere întregi, ştiind că $\operatorname{det}(m A)-\operatorname{det}(n A)=8$.

Answer 1

$A=\left(\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$

1)

Calculam detA, facem diferenta dintre produsul diagonalelor

detA=5-4=1

2)

$A\cdot A=\left(\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}29 & 12 \\ 12 &5\end{array}\right)\\\\A\cdot A-6A=\left(\begin{array}{ll}29 & 12 \\ 12 &5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}30 & 12 \\ 12 &6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}-1 & 0 \\ 0 &-1\end{array}\right)=-I_2$

3)

det(xA)=4

5x×x-2x×2x=4

5x²-4x²=4

x²=4

x=2 si x=-2

4)

Aratati ca det(A·A-6A+aI₂)≥0

Ne folosim de punctul 2

A·A-6A+aI₂=-I₂+aI₂=(a-1)I₂

det((a-1)I₂)=(a-1)²≥0, fiind un numar la putere para

5)

m(det(A+I₂)+det(A-I₂))=det(mA)

$A+I_2=\left(\begin{array}{ccc}6&2\\2&2\end{array}\right) \\\\det(A+I_2)=12-4=8\\\\\\A-I_2=\left(\begin{array}{ccc}4&2\\2&0\end{array}\right) \\\\det(A-I_2)=-4\\\\\\\\det(mA)=5m^2-4m^2=m^2\\\\m(8-4)=m^2\\\\4m-m^2=0\\\\m(4-m)=0\\\\m=0\ si \ m=4$

6)

det(mA)-det(nA)=8

Avem calculul la punctul anterior pentru det(mA)=m²

det(nA)=n²

m²-n²=8

(m-n)(m+n)=8

m si n∈Z

Caz 1:

m-n=1

m+n=8

Le adunam

2m=9

m=4,5 ∉Z Nu se poate

Caz 2:

m-n=-1

m+n=-8

Le adunam 2m=-9 Nu se poate

Caz 3:

m-n=2

m+n=4

Le adunam

2m=6

m=3 si n=1

Analog m=-3 si n=-1

Caz 4:

m-n=4

m+n=2

Le adunam

2m=6

m=3 si n=-1

Analog m=-3 si n=1

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928526

#BAC2022

#SPJ4