Question

Se consideră matricea $A(x, y)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ x & y\end{array}\right)$, unde $x$ şi $y$ sunt numere reale.

5p 1. Arătaţi că det $(A(0,0))=0$.

5p 2. Calculaţi $A(0,0) \cdot A(1,1)$.

5p 3. Arătaţi că $\operatorname{det}(A(x, y))+\operatorname{det}(A(y, x))=0$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

5p 4. Determinaţi numerele reale $x$ şi $y$ pentru care $A(x, y) \cdot A(x, y)=2 A(x, y)$.

5p 5. Determinaţi numărul natural nenul $n$ pentru care $A(1,1)+A(2,2)+\ldots+A(n, n)=n A(4,4)$.

5p 6. Determinaţi numărul perechilor $(m, n)$ de numere naturale pentru care suma elementelor matricei $A(m, n)$ este egală cu 102 .

Answer 1

$A(x, y)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ x & y\end{array}\right)$

1)

Calculam det(A(0,0)), inlocuim pe x cu 0 si y cu 0 si facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(A(0,0))=0-0=0

2)

$A(0,0)\cdot A(1,1)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)$

3)

det(A(x,y))=y-x

det(A(y,x))=x-y

y-x+x-y=0

4)

$A(x, y)\cdot A(x,y)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ x & y\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ x & y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1+x & 1+y \\ x+xy & x+y^2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\2 x & 2y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1+x & 1+y \\ x+xy & x+y^2\end{array}\right)$

1+x=2

x=1

1+y=2

y=1

5)

$A(1,1)+A(2,2)+...+A(n,n)=\left(\begin{array}{ll}n& n \\ \frac{n(n+1)}{2} &\frac{n(n+1)}{2} \end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ll}n& n \\ \frac{n(n+1)}{2} &\frac{n(n+1)}{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}n& n \\ 4n &4n \end{array}\right)$

$\frac{n(n+1)}{2} =4n\\\\n^2+n-8n=0\\\\n^2-7n=0\\\\n(n-7)=0\\\\n=0\ si\ n=7$

Cum n este natural nenul, n=7

6)

1+1+m+n=102

m+n=100

Fie m=x

n=100-x

x={0,1,2,...,100}

Deci avem 101 perechi de numere

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919033

#BAC2022

#SPJ4