Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $x * y=x+y-20$.

$5 \mathbf{1}$ 1. Arătați că $20 * 1=1$.

$5 \mathbf{p}$ 2. Demonstrați că legea de compoziție ,,*" este asociativă.

5 p 3. Verificaţi dacă $e=20$ este elementul neutru al legii de compoziţie ,,*".

5p 4. Determinaţi numărul real $x$, știind că $(2 x-1) * x=21$.

$5 p$ 5. Determinaţi numărul real $x$ pentru care $9^{x} * 3^{x}=-8$.

5p 6. Arătaţi că $x^{2} *(2 x+21) \geq 0$, pentru orice număr real $x$

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

x o y = x+y -20

1) 20 o 1 = 20+1-20 = 21-20 = 1

2) (x o y) o z = x o (y o z)

(x o y) o z = (x+y-20) o z = x+y-20+z-20 =x+y+z-40

x o (y o z) = x o ( y+z-20) = x + y+z-20-20 = x+y+z-40 =>

(x o y) o z = x o (y o z) => legea ''o'' este asociativa

3) x o e = e o x = x

x o e = x o 20 = x+20-20 = x

e o x = 20 o x = 20+x -20 = x =>

e = 20 = element neutru

4) (2x-1) o x = 21 =>

2x-1+x-20 = 21 <=> 3x = 21+21 => x = 42:3 => x = 14

5) 9ˣ o 3ˣ = -8 => 9ˣ+3ˣ-20 = -8 =>

9ˣ+3ˣ-12 = 0  ; 3ˣ = t => t²+t-12 = 0

t₁,₂ = (-1±√49)/2 = (-1±7)/2

t₁ = -4 nu convine; t₂ = 3

3ˣ = 3 => x = 1

6) x² o (2x+21) ≥ 0

x² o (2x+21) = x²+2x+21-20 = x²+2x+1 = (x+1)² ≥ 0 , (∀) x ∈ R