Question

Se consideră mulțimea M={-100;-99;-98;...;100}. Să se calculeze probabilitatea ca alegând la întâmplare un element n al mulțimii M, n^2+4n-5 să fie pătrat perfect.
SOLUȚIILE SUNT: -7;-5;1 și 3 dar nu știu să ajung la ele!!!

Answer 1

[tex]\text{Tipul acesta de exercitii se pot rezolva in doua moduri:}\\ Metoda\ 1: \text{Deoarece }n^2+4n-5 \text{ este patrat perfect,}\exists\ p\in \mathbb{Z}\ \text{astfel}\\ \text{incat } n^2+4n-5=p^2\\ n^2+4n-5-p^2=0\\ \Delta=16+20+4p^2=36+4p^2\\ \text{Solutii ecuatiei sunt numere intregi,}\text{deci }\sqrt{\Delta}\in \mathbb{N} \\ \text{Din nou,} \exists\ m\in \mathbb{Z}\ \text{astfel incat}\ \Delta=m^2\\ 36+4p^2=m^2\\ m^2-4p^2=36\\ (m-2p)(m+2p)=36\\ \text{Mai departe cautam toate variantele posibile,tinand cont ca:}\\ m-2p \text{ si }m+2p \text{au aceeasi paritate}[/tex]
[tex] \left \{ {{m-2p=2} \atop {m+2p=18}} \right. \\ -4p=-16\Rightarrow p=4\\ \left \{ {{m-2p=18} \atop {m+2p=2}} \right\\ -4p=16\Rightarrow p=-4\\ \text{In fine,mai ai de analizat cazurile (-2,-18),(-18,-2),(6,6),(-6,-6)}\\ \text{Il inlocuiesti pe p si il afli pe n}.\\ \\ Metoda\ 2\\ \text{Mergand pe aceeasi idee ca la prima metoda,presupunem ca }\exists p\in \mathbb{Z}\\ \text{astfel incat }n^2+4n-5=p^2\\ \text{Facem un artificiu de calcul:}\\ (n+2)^2-9=p^2\\ (n+2)^2-p^2=9\\ (n+2-p)(n+2+p)=9[/tex]
[tex]\text{Din nou avem de analizat mai multe variante:}\\ \left \{ {{n+2-p=1} \atop {n+2+p=9}} \right.\\ 2n+4=10\Rightarrow n=3\\ \left \{ {{n+2-p=3} \atop {n+2+p=3}} \right. \\ 2n+4=6\Rightarrow n=1\\ \left \{ {{n+2-p=-3} \atop {n+2+p=-3}} \right.\\ 2n+4=-6\Rightarrow n=-5\\ \left \{ {{n+2-p=-9} \atop {n+2+p=-1}} \right. \\ 2n+4=-10\Rightarrpw n=-7\\ \text{Si am obtinut toate solutiile.}[/tex]