Question

Se consideră numărul A = 3^1 +3^2 +3^3 +...+ 3^2011.
a) Arătaţi că A este număr impar.
b) Calculați ultima cifră a numărului A + 1.
c) Calculaţi restul împărţirii numărului A + 1 la 5.​

Answer 1

Răspuns:

a) A este impar

b) 0

c) 0

Explicație pas cu pas:

A=3¹+3²+3³+...+3²⁰¹¹ /*3

3A=3²+3³+3⁴+...+3²⁰¹²

-------------------------------- Din a doua relatie o scadem pe prima.

3A-A=3²-3¹+3³-3²+3⁴-3³+...+3²⁰¹²-3²⁰¹¹

Observam ca termenii asemenea, dar cu semn schimbat, se reduc.

=> 2A=3²⁰¹²-3 => A=3²⁰¹²-3/2

Ai sa vezi ca ultimele 2 cifre a unei puteri ale lui 3 se repeta dupa secvente de 3; 9; 7 si 1. Adica 3¹=3; 3²=9; 3³=27; 3⁴=81; 3⁵=243 si asa mai departe. Se repeta din 4 in 4. Pentru a afla ultimele 2 cifre al numarului nostru, este indeajuns sa aflam restul impartirii lui 2012 la 4 si sa il ridicam pe 3 la rest.

2012:4=503 rest 0 In cazul in care restul este zero, inseamna ca ultimele 2 cifre a lui 3 este echivalenta cu ultima din serie, adica 81.

=> u2(3²⁰¹²)=u2(3⁴)=u2(81)=81

u2(3²⁰¹²-3)=u2(81-3)=78

u2(78/2)=u(39)=9 => A este impar

b) u(A+1)=u[u(A)+u(1)]=u(9+1)=u(10)=0

c) Restul unui numar impartit la 5 se poate calcula dupa ultima cifra

=> restul lui A+1 la 5 este restul ultimei cifre ale lui A+1 impartita la 5, adica 0.