Matematică, întrebare adresată de gaoisgaos, 8 ani în urmă

Se considera polinomul f=x^3+2x^2+x+m, m este nr real.

Determinati numarul natural prim m, stiind ca polinomul f are o radacina intreaga;
Raspunsul:m=2 (nu cunosc etapele rezolvari)

albatran: problema nu e clar formulata...daca EXACT o radacina intreag sau minim o radacina intrega ...dar problema e tare...f(x)=x(x+1)^2+m in care m e prim,,pt x radacina m=-x(x+1)^2...ptm>0 are trei radacini reale...ptca m prim, si x(x+1)^2 e par , pt ca are in ceoi trei factori 2 numere intregi consecutive, inseamna ca x=-2 si m=2 e solutie unica

albatran: m-am prins doar acum, nu am avut timp sa pun solutia, m-am uitat la 4 dimi si ziceau ca au ttrecut 8 ore...num-am uita si la minute

albatran: deci dintrecele trei radacinireale o singura dat una poate fi intreaga

albatran: m>0 pt ca m e prim,deci natural...in fine mai trebuie putin bibilita pt rigoare, dar sperca ati prins ideea...faceti graficul lui x(x+1)^2 si pe urma translatati-l in sus pe Oy cu m...va avea 3 rad reale pt mapartine(0.a) si o exact radacina reala pt x>a...a e punctulde minim local al functiei x(x+1)^2..cred ca a<2...

albatran: a bac n-ai timp sa faci toatea stea desi asat suna a punct c) , ala mai dificil, dar povestea cu x(x+1)^2 cred ca estecea agreeata de autorul problemei

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

f = X³+2X²+X+m, m este număr natural prim.

Se foloseste o proprietate a polinoamelor cu coeficienți întregi.

Dacă polinomul are o radacină intreagă, atunci aceasta divide termenul liber (adică m).

Considerăm rădacina întreagă A.

$f(A) = A^3+2A^2+A+m = 0\\ \\A~\big|~m\Rightarrow m = kA,\quad k\in \mathbb{Z}^* \\ \\\Rightarrow A^3+2A^2+A+kA = 0\\ \Rightarrow A\Big[A^2+2A+(1+k)\Big] = 0\\ \\\boxed{1}\quad A = 0\Rightarrow m = 0,\quad (F) \\\\\boxed{2}\quad A^2+2A+1+k = 0\\ \\ \Rightarrow (A+1)^2 = -k\\ \\ \text{Observam ca pentru }k > 0\Rightarrow \Delta < 0\\ \\ \text{Pentru } k = -1 \text{ avem:}\\ \\ (A+1)^2 = 1 \Rightarrow A = -2 \in \mathbb{Z}\\ \\ \Rightarrow m = (-1)\cdot (-2) \Rightarrow \boxed{m = 2}$