Question

se considera sistemul :x+2y-3z =0
3x-y-2z=0
2x-3y+z=0
arătați ca sistemul are o infinitate de soluții si determinați soluțiile (x0,y0,z0)ce apartin RxRxR cu proprietatea ca 4x0+y0=z0^2

Answer 1

Incercam sa determinam solutiile sistemului prin metoda substitutiei. Din ecuatia a treia, obtinem valoarea lui z
2x-3y+z=0 atunci z=3y-2x
Din ecuatia 2 3x-y-2z=0 atunci y=3x-3z Folosind ecuatia de mai sus pentru z
y=3x-2(3y-2x)=3x-6y+4x adica 7y=7x adica x=y. Inlocuim aceasta relatie si in prima ecuatie
x+2y-3z=0 y+2y-3z=0 adica 3y-3z=0 adica 3y=3z adica y=z
Deci observam ca solutia sistemului este x=y=z pentru orice x,y,z apartin lui R, deci este o infinitate de solutii
Pentru solutia data acolo inseamna ca z0=y0=x0, atunci ecuatia devine
$x0+x0=x0^{2}\Rightarrow x0^{2}-2x0=0\Rightarrow x0(x0-2)=0$ care observam ca are doua solutii
z0=y0=x0=0 si
z0=y0=x0=2