Question

Se considera trei numere naturale a,b,c in baza 10.Notam cu E=$a^{4}$+$b^{4}$+$c^{4}$.Daca ultima cifra de la unul din numerele $a^{4}$,$b^{4}$,$c^{4}$este diferita de ultima cifra de la fiecare din celelalte doua numere,care poate fi ultima cifra a numaralui E?

Answer 1

Salut,

Ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi 0, sau 1, sau 4, sau 5, sau 6, sau 9.

Ultima cifră a unui număr natural la puterea a 4 se obține din cele de mai sus, ridicând la pătrat fiecare valoare, obținem: 0, sau 1, sau 5, sau 6.

Din enunț, rezultă că numerele a⁴, b⁴ și c⁴ au ultima cifră distinctă, față de celelalte 2 valori.

Le luăm pe rând, vom avea mai multe cazuri posibile:

1). Dacă ultima cifră a lui a⁴ este 0, atunci b⁴ și c⁴ pot lua valorile 1, respectiv 5, sau 5, respectiv 1, deci ultima cifră a lui E este UC(E) = 0 + 1 + 5 = 6;

2). Dacă ultima cifră a lui a⁴ este 0, atunci b⁴ și c⁴ pot lua valorile 1, respectiv 6, sau 6, respectiv 1, deci ultima cifră a lui E este UC(E) = 0 + 1 + 6 = 7;

3). Dacă ultima cifră a lui a⁴ este 0, atunci b⁴ și c⁴ pot lua valorile 5, respectiv 6, sau 6, respectiv 5, deci ultima cifră a lui E este UC(E) = UC(0 + 5 + 6) = UC(11)= 1.

În continuare, vei lua în considerare că UC(a⁴) = 1, și iei cele 3 cazuri care apar (similar celor de mai sus), adică

(0, 5), sau (5, 0)

(0, 6), sau (6, 0)

(5, 6), sau (6, 5).

Apoi, vei lua în considerare că UC(a⁴) = 5, și iei cele 3 cazuri care apar (similar celor de mai sus), adică

(0, 1), sau (1, 0)

(0, 6), sau (6, 0)

(1, 6), sau (6, 1).

La final, vei lua în considerare că UC(a⁴) = 6, și iei cele 3 cazuri care apar (similar celor de mai sus), adică

(0, 1), sau (1, 0)

(0, 5), sau (5, 0)

(1, 5), sau (5, 1).

Soluția finală va fi că UC(E) ∈ {1, 2, 6, 7}.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.